RACIONALIZACION DE FUNCIONES IRRACIONALES

Las funciones algebraicas no racionales, son aquellas que contienen radicales. Sólo algunas cuantas de ellas se pueden integrar en términos de funciones elementales. En algunos casos, sustituyendo una nueva variable, dichas funciones pueden transformarse en funciones equivalente que o son racionales o se encuentran directamente integrando (integración directa).

El método de integración por racionalización es un método de integrar una función no racional que consiste en remplazar la variable por una nueva de tal manera que el resultado sea una función racional.

Primer caso. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de $x$ pueden transformarse en forma racional mediante la sustitución $\displaystyle x = z^n$ , donde $n$ es el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de $x$ .

Problema 1. Hallar la $\displaystyle \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1 + \sqrt{t})}}$

Solución. Primero se determina la potencia equivalente de cada término de la raíz del integrando.

$\displaystyle \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1+\sqrt{t})}} = \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}})}}$

Sea $z$ que va remplazar a $\displaystyle t^{\frac{1}{2}}$ , es decir, $\displaystyle z = t^{\frac{1}{2}}$ . Determinando su diferencial

$\displaystyle z = t^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle z^2=t$

$\displaystyle 2z \ dz=dt$

Haciendo el cambio de variable en la integral del problema

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = \int{\frac{2z \ dz}{z(1+z)}}$

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \int{\frac{dz}{(1+z)}}$

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2\ln{(1+z)} + C$

Y recordando la sustitución $\displaystyle z = t^{\frac{1}{2}}$ en la que fue utilizada al principio

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1+z)} + C$

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1 + t^{\frac{1}{2}})} + C$

Aplicando las propiedades de los logaritmos y de las potencias

$\displaystyle \int{\frac{dt}{t^{\frac{1}{2}} (1+t^{\frac{1}{2}})}} = 2 \ln{(1+\sqrt{t})} + C = \ln{{(1+\sqrt{t})}^2} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dt}{\sqrt{t} (1+\sqrt{t})}} = \ln{(1+\sqrt{t})^2} + C$