REGLA DE L' HOPITAL.

Si $f$ y $g$ son 2 funciones continuas tal que

$\left\{\begin{matrix} \lim_{x\rightarrow a} f(x)=0\\ \\ \lim_{x\rightarrow a} g(x)=0\\ \\ g'(x)\not=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

La regla de L'Hôpital nos dice que

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ .

Para poder aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ , y tener una de las siguientes indeterminaciones

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow\frac{0}{0}$ ,
$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow\frac{\infty}{\infty}$
Formas de Indeterminaciones en potencias
Las formas indeterminadas $0^0$ , $\infty^0$ y $1^\infty$ se obtienen cuando consideramos expresiones de la forma
$[f(x)]^{g(x)}$

Estas indeterminaciones se resuelven primero aplicando propiedades del logaritmo:
Tengo mi función
$y=[f(x)]^{g(x)}$

Aplico logaritmo
$\ln(y)=\ln([f(x)]^{g(x)})=g(x)\ln(f(x))$

Aplico exponencial
$y=e^{g(x)\ln(f(x))}$

Entonces
$\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}=\lim_{x\to a}e^{g(x)\ln(f(x))}=e^{\lim_{x\to a}{g(x)\ln(f(x))}}$

Por lo que para resolver el límite inicial, me basta con obtener el límite de su logaritmo
$\lim_{x\to a}{g(x)\ln(f(x))}=L$

Y así, el límite original será
$\lim_{x\to a}[f(x)]^{g(x)}=e^L$

FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L' HOPITAL

REGLA DE L' HOPITAL.