METODO DE SUSTITUCION DEL ANGULO MEDIO.

Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable:

$\begin{array}{ccc} \hline \text{\textbf{Para:}} & \text{\textbf{Sustituir:}} & \text{\textbf{para obtener:}}\\ \hline \sqrt{a^2 - b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\sin z & a\,\sqrt{1 - \sin^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\cos z}\\~\\ \sqrt{a^2 + b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\tan z & a\,\sqrt{1 + \tan^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\mathrm{sec}\;z}\\~\\ \sqrt{b^2u^2 - a^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\mathrm{sec}\;z & a\,\sqrt{\sec^2 z - 1}\quad =\quad \textcolor{red}{a\tan z}\\ \hline \end{array}$

Debes recordar siempre sustituir $dx$ a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en términos de $dz$ .

Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

$\begin{equation*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx \end{equation*}$

Empezamos observando que $a^2 = 9$ , lo cual implica que $a = 3$ , y $b^2 = 4$ , es decir, $b = 2$ . Entonces hacemos: $x = (a/b)\,\sin z$ :

$\begin{equation*} \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz} \end{equation*}$

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:

$\begin{equation*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,\textcolor{red}{x}^2}}{\textcolor{red}{x}}\,\textcolor{blue}{dx} = \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)} \end{equation*}$

Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz:

$\begin{eqnarray*} \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)} &=& \int\!\frac{\sqrt{9 - 9\sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz\\ &=& \int\!\frac{3\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz \end{eqnarray*}$

Pero $1 - \sin^2 z = \cos^2 z$ ,luego,

$\begin{eqnarray*} 3\int\!\frac{\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz &=& 3\int\!\frac{\cos z}{\sin z}\,\cos z\,dz\\ &=& 3\int\!\frac{\cos^2 z}{\sin z}\,dz\\ &=& 3\int\!\frac{1 - \sin^2 z}{\sin z}\,dz\\ &=& 3\int\!\left(\frac{1}{\sin z} - \sin z\right)\,dz \end{eqnarray*}$

Ahora podemos integrar:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\int\!\frac{1}{\sin z}\,dz - 3\int\!\sin z\,dz\\ &=& 3\int\!\mathrm{csc}\; z\,dz + 3\,\cos z\\ &=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C \end{eqnarray*}$

Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial. Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en términos de $x$ , no de $z$ . Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de $x$ . Para lograr eso, vamos a representar geométricamente la sustitución inicial:

$\begin{equation*} x = \frac{3}{2}\,\sin z\qquad\Rightarrow\qquad \sin z = \frac{2\,x}{3} \textcolor{blue}{= \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \end{equation*}$

En el triángulo rectángulo tenemos (para calcular el cateto adyancente al ángulo $z$ hemos utilizado el teorema de Pitágoras):

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Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo tenemos:

$\begin{equation*} \mathrm{csc}\; z = \frac{3}{2\,x},\qquad\cos z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\qquad\text{ y }\qquad \cot z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x} \end{equation*}$

Entonces, podemos reescribir la solución como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C\\ &=& 3\,\ln\left\vert\frac{3}{2\,x} - \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + 3\,\left(\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\right) + C\\ &=&3\,\ln \left\vert\frac{3 - \sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + \sqrt{9 - 4\,x^2} + C \end{eqnarray*}$

Observa que hemos utilizado un artificio: como la integral no se puede integrar de manera inmediata debido a la forma que tiene, sabiendo que puede transformarse a una forma inmediatamente integrable usando una sustitución trigonométrica, vamos a utilizar la transformación sugerida en la tabla dada al principio de esta lección. Después de hacer la sustitución obtenemos una integral en términos de funciones trigonométricas que se puede integrar usando la variable $z$ .

Para regresar este resultado a términos de $x$ , utilizamos la sustitución que tomamos de la tabla para representarla geométricamente usando un triángulo rectángulo y las definiciones de las funciones trigonométricas en él.