INTEGRACION POR PARTES.
A diferencia de las derivadas, no existe una fórmula para poder integrar cualquier producto de funciones.
Lo más cercano que tenemos a una regla para integrar producto de funciones es la integración por partes. Curiosamente, se basa en la fórmula para derivar un producto de funciones.
Sin embargo, la integración por partes transforma una integral de un producto en otra integral. Esta fórmula no funciona para integrar todos los productos de funciones
La fórmula de la integración por partes es
Observemos que tenemos que derivar 
e integrar 
, por lo que será conveniente que la integral de sea sencilla.
En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como .
Deducción de la fórmula
Supongamos que tenemos las funciones 
y 
. Entonces su derivada está dada por
![\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca4bd8ef82244203e4d564192a6edc9d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos
![\begin{align*} u(x) \cdot v(x) & = \int{\left[ u(x) \cdot v(x) \right]'}dx\\& = \int{\left( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \right)}dx\\& = \int{u'(x)v(x)}dx + \int{u(x)v'(x)}dx\end{align*}](https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60cb720701c35da66fbe5ce45c2a789e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Luego, si pasamos 
al lado izquierdo, obtenemos
que es la fórmula que buscábamos.
1 
Tenemos un producto entre la función 
y 
. Como se mencionó anteriormente, en este tipo de casos se elige 
y 
.
Derivamos :
Integramos 
:
De manera que la integral nos queda
Así,
