METODO DE SIMPSON.

Otro método para aproximar integrales definidas es el conocido como la regla de Simpson. Simpson fue todavía más allá. En lugar de utilizar trapecios a partir de dos puntos mejoró la aproximación utilizando parábolas que pasen por tres puntos por los cuales pasa la función.

Elegimos 3 puntos: $A(x_1, f(x_1))$ , $B(x_2, f(x_2))$ y $C(x_3, f(x_3))$ . Con estos tres puntos vamos a calcular la parábola que pasa por ahí. Es decir, tenemos que determinar los parámetros $a,b,c$ tales que $y = ax^2 + b\,x + c$ pasa por los puntos $A,B,C$ .

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Utilizando esta idea, podemos aplicar el mismo método que usamos para el método del trapecio y finalmente encontramos:

$\begin{equation*} \int\limits_{a}^{b}\!f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{3}\left( f(x_1) + 4\,f(x_2) + 2\,f(x_3) + 4\,f(x_4) + \cdots + 4\,f(x_{n-1}) + f(x_n)\right) \end{equation*}$

para $n$ par y $\Delta x = (b - a)/n$ .

Ejemplo

Aproxima la integral definida:

$\begin{equation*} \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \end{equation*}$

haciendo $n = 10$ .

Aplicamos directamente la regla de Simpson:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{2}\!\frac{dx}{x} \!\!\!&\approx&\!\!\! \frac{0.1}{3}\left[ \frac{1}{1} + \frac{4}{1.1} + \frac{2}{1.2} + \frac{4}{1.3} + + \frac{2}{1.4} + \frac{4}{1.5} + \frac{2}{1.6} + \frac{4}{1.7} + \frac{2}{1.7} + \frac{4}{1.9} + \frac{1}{2} \right]\\ \!\!\!&\approx&\!\!\! 0.693150 \end{eqnarray*}$

Recuerda que con el método del trapecio, en el cual obtuvimos una aproximación de 0.6937714032 unidades de área.

Y el valor del área buscada es de: $\ln 2 \approx 0.693147180559945$ . El método de Simpson nos da una mejor aproximación, como era de esperarse.