TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES.

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b - a) =

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:

m(b - a) M(b - a) entonces m M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c) = .

Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

rectángulo inscripto (área menor que la de la región)

rectángulo del valor medio (área igual que la de la región)

rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.

A =

= f(c)(b - a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c) = se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x² - 2x en el intervalo [1, 4].

Calculamos:

f_prom = = = = (64 - 16 -1 + 1) = 16