LONGITUD DE ARCO.

Si se tiene una función $f(x)$ derivable en un intervalo $[a, b]$ , entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva $f(x)$

longitud de arco

Para encontrar la longitud de arco empleamos la siguiente fórmula que viene dada por la integral definida

$L = \displaystyle \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \; dx$

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la función $y = x ^{\frac{3}{2}}$ en el intervalo $[0, 1]$ .

ejemplo longitud de arco

1Derivamos la función

$y' = \cfrac{3}{2} \; \sqrt{x}$

2Sustituimos en la fórmula de longitud de arco

$L = \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \left (\cfrac{3}{2} \; \sqrt{x} \right )^2} \; dx$

3Resolvemos la integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \left (\cfrac{3}{2} \; \sqrt{x} \right )^2} \; dx & = & \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \cfrac{9}{4} \; x } \; dx \\\\ & = & \displaystyle \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \; dx \end{array}$

4Completamos la integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \; dx & = & \displaystyle \cfrac{4}{9} \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \cdot \cfrac{9}{4} \; dx \end{array}$

5Hacemos $u = 1 + \cfrac{9}{4} \; x$ , luego su derivada es $u' = \cfrac{9}{4}$ . Resolvemos la integral de la función potencia

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{4}{9} \int_0^1 \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{1}{2}}} \cdot \cfrac{9}{4} \; dx & = & \left. \cfrac{4}{9} \cdot \cfrac{2}{3} \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{3}{2}}} \right |_0^1 \\\\ & = & \left. \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \; x \right )^{\frac{3}{2}}} \right |_0^1 \\\\ & = & \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \cdot 1 \right )^{\frac{3}{2}}} - \cfrac{8}{27} \left (1 + \cfrac{9}{4} \cdot 0 \right )^{\frac{3}{2}}} \\\\ & = & \cfrac{13 \sqrt{13} - 8}{27} \end{array}$

6Así, la longitud de arco es

$\begin{array}{rcl} L & = & \cfrac{13 \sqrt{13} - 8}{27} \end{array}$