AREA SUPERFICIAL DE SOLIDOS EN REVOLUCION.

Si la curva está definida por las funciones ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle y(t)}$, perteneciendo ${\displaystyle t}$ a un intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ y siendo el eje de revolución el eje coordenado ${\displaystyle Y}$, el área ${\displaystyle A}$ estará dada, entonces, por la integral

${\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}$

siendo ${\displaystyle x(t)}$ siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

${\displaystyle \left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}$

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad ${\displaystyle 2\pi x(t)}$ es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.

Si la curva está definida por la función ${\displaystyle y=f(x)}$, la integral se transforma en

${\displaystyle A=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx,\ {\mbox{para}}\qquad x_{1}=x(t=a),{\mbox{y }}x_{2}=x(t=b)}$

para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas, y

${\displaystyle A=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy,\ {\mbox{para}}\qquad y_{1}=f(x_{1}),{\mbox{y }}y_{2}=f(x_{2})}$

para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.

Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva ${\displaystyle x(t)=cos(t)}$ y ${\displaystyle y(t)=sen(t)}$ cuando ${\displaystyle t}$ toma valores en el intervalo ${\displaystyle [0,\pi ]}$. Su área, por tanto, será

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {\left(\cos(t)\right)^{2}+\left(\sin(t)\right)^{2}}}\,dt=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt=4\pi }$