Introducción

Caso 3. Solución de integrales de la forma \displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du}, \displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du}, \displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} y \displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} donde el valor de m debe ser diferente de n y también el valor de m debe ser siempre mayor que n.

En este caso es posible transformar la expresión diferencial trigonométrica dada, por sustituciones trigonométricas, en una integral inmediata que contiene la suma y la diferencia de senos y cosenos.

Fórmulas trigonométricas por aplicar

\displaystyle \sin{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

\displaystyle \sin{mu} \sin{nu} = -\frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

\displaystyle \cos{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

Fórmulas de integración directa

\displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} - \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} = \frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx}.

Solución. Esta integral se acomoda de acuerdo a los coeficientes que poseen dentro de cada función trigonométrica (mayor a menor).

\displaystyle \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx}

Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du}, donde m=5 y n=3 (m es mayor y diferente de n), es decir, cumple con la condición del caso 3.

Solución por sustitución trigonométrica

Analizando los términos del integrando, se aplica la siguiente fórmula

\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

Sustituyendo los valores correspondientes y cambiando la variable u por x, se tiene los siguiente

\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

\displaystyle \cos{5x} \sin{3x} = \frac{1}{2} \sin{(5+3)x} - \frac{1}{2} \sin{(5-3)x}

\displaystyle \cos{5x} \sin{3x} = \frac{1}{2} \sin{8x} - \frac{1}{2} \sin{2x}

Entonces

\displaystyle \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx} = \int{\left(\frac{1}{2} \sin{8x} - \frac{1}{2} \sin{2x} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx} = \frac{1}{2} \int{\sin{8x} \, dx} - \frac{1}{2} \int{\sin{2x} \, dx}

Ambas integrales son similares a

\displaystyle \int{\sin{v} \, dv} = -\cos{v} + C

En la primera integral, se observa que la variable v está representando a 8x, es decir, sea \displaystyle v=8x; su diferencial es \displaystyle dv=8 \ dx o \displaystyle dx = \frac{1}{8} dv. Entonces

\displaystyle \int{\sin{8x} \, dx} = \int{\sin{v} \left(\frac{1}{8} dv \right)}

\displaystyle \int{\sin{8x} \, dx} = \frac{1}{8} \int{\sin{v} \, dv} = -\frac{1}{8} \cos{v} + C

\displaystyle \int{\sin{8x} \, dx} = -\frac{1}{8} \cos{8x} + C

En la segunda integral, se observa que la variable v está representando a 2x, es decir, \displaystyle v=2x; su diferencial es \displaystyle dv=2 \ dx o \displaystyle dx = \frac{1}{2} dv. Entonces

\displaystyle \int{\sin{2x} \, dx} = \int{\sin{v} \left(\frac{1}{2} dv \right)}

\displaystyle \int{\sin{2x} \, dx} = \frac{1}{2} \int{\sin{v} \, dv} = -\frac{1}{2} \cos{v} + C

\displaystyle \int{\sin{2x} \, dx} = -\frac{1}{2} \cos{2x} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

\displaystyle \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = \frac{1}{2} \int{\sin{8x} dx} - \frac{1}{2} \int{\sin{2x} dx}

\displaystyle \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{8} \cos{8x} \right) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos{2x} \right) + C

\displaystyle \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = -\frac{1}{16} \cos{8x} + \frac{1}{4} \cos{2x} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = -\frac{1}{16} \cos{8x} + \frac{1}{4} \cos{2x} + C

Solución por fórmula de integración directa

Esta integral es similar a

\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C

Sustituyendo los valores y variables correspondientes

\displaystyle \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx} = -\frac{1}{2(5+3)} \cos{(5+3)x} + \frac{1}{2(5-3)} \cos{(5-3)x} + C

\displaystyle \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx} = -\frac{1}{2(8)} \cos{8x} + \frac{1}{2(2)} \cos{2x} + C

\displaystyle \int{\cos{5x} \sin{3x} \, dx} = -\frac{1}{16} \cos{8x} + \frac{1}{4} \cos{2x} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin{3x} \cos{5x} \, dx} = -\frac{1}{16} \cos{8x} + \frac{1}{4} \cos{2x} + C

Problema 2. Hallar \displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du}, donde m=4 y n=3 (m es mayor y diferente de n), es decir, cumple con la condición del caso 3.

Solución por sustitución trigonométrica

Esta integral pertenece a la siguiente fórmula

\displaystyle \sin{mu} \sin{nu} = -\frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

Sustituyendo los valores correspondientes

\displaystyle \sin{4z} \sin{3z} = -\frac{1}{2} \cos{(4+3)z} + \frac{1}{2} \cos{(4-3)z}

\displaystyle \sin{4z} \sin{3z} = -\frac{1}{2} \cos{7z} + \frac{1}{2} \cos{z}

Reemplazando el equivalente del integrando, resulta

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = \int{\left(-\frac{1}{2} \cos{7z} + \frac{1}{2} \cos{z} \right) \, dz}

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{2} \int{\cos{7z} \, dz} + \frac{1}{2} \int{\cos{z} \, dz}

Ambas integrales son similares a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

En la primera integral se observa que v está representando a 7z, es decir, sea \displaystyle v=7z; su diferencial es \displaystyle dv=7 \ dz o \displaystyle dz = \frac{1}{7} dv. Aplicando el método de sustitución

\displaystyle \int{\cos{7z} dz} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{7} dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{7z} dz} = \frac{1}{7} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{7} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{7z} dz} = \frac{1}{7} \sin{7z} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{2} \int{\cos{7z} \, dz} + \frac{1}{2} \int{\cos{z} \, dz}

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{7} \sin{7z} \right) + \frac{1}{2} \sin{z} + C

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{14} \sin{7z} + \frac{1}{2} \sin{z} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{14} \sin{7z} + \frac{1}{2} \sin{z} + C

Solución por fórmula de integración directa

Esta integral es similar a

\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

Sustituyendo los valores de m y n, y cambiando la variable u por z, resulta

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{2(4+3)} \sin{(4+3)z} + \frac{1}{2(4-3)} \sin{(4-3)z} + C

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = - \frac{1}{2(7)} \sin{(7)z} + \frac{1}{2(1)} \sin{(1)z} + C

\displaystyle \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{14} \sin{7z} + \frac{1}{2} \sin{z} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin{4z} \sin{3z} \, dz} = -\frac{1}{14} \sin{7z} + \frac{1}{2} \sin{z} + C

Problema 3. Hallar \displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du}, donde m=4 y n=1 (m es mayor y diferente de n), es decir, cumple con la condición del caso 3.

Solución por sustitución trigonométrica

Aplicando la siguiente fórmula, resulta

\displaystyle \cos{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

Reemplazando los valores de m y n, y cambiando la variable u por t, se tiene lo siguiente

\displaystyle \cos{4t} \cos{t} = \frac{1}{2} \cos{(4+1)t} + \frac{1}{2} \cos{(4-1)t}

\displaystyle \cos{4t} \cos{t} = \frac{1}{2} \cos{(5)t} + \frac{1}{2} \cos{(3)t}

\displaystyle \cos{4t} \cos{t} = \frac{1}{2} \cos{5t} + \frac{1}{2} \cos{3t}

Tomando el equivalente del integrando

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \int{\left(\frac{1}{2} \cos{5t} + \frac{1}{2} \cos{3t} \right) \, dt}

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{2} \int{\cos{5t} \, dt} + \frac{1}{2} \int{\cos{3t} \, dt}

Ambas integrales son similares a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

En la primera integral, la variable v está representando a 5t, es decir, sea v=5t; su diferencial es \displaystyle dv=5 \ dt o \displaystyle dt = \frac{1}{5} dv. Su resultado es

\displaystyle \int{\cos{5t} \, dt} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{5} dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{5t} \, dt} = \frac{1}{5} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{5} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{5t} \, dt} = \frac{1}{5} \sin{5t} + C

En la segunda integral la variable v está representando a 3t, es decir, sea v=3t; su diferencial es dv=3 \ dt o \displaystyle dt = \frac{1}{3} dv. Su resultado es

\displaystyle \int{\cos{3t} \, dt} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{3} dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{3t} \, dt} = \frac{1}{3} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{3} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{3t} \, dt} = \frac{1}{3} \sin{3t} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{2} \int{\cos{5t} \, dt} + \frac{1}{2} \int{\cos{3t} \, dt}

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} \sin{5t} \right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \sin{3t} \right) + C

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{10} \sin{5t} + \frac{1}{6} \sin{3t} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{10} \sin{10t} + \frac{1}{6} \sin{3t} + C

Solución por fórmula de integración directa

Este integral pertenece a la siguiente fórmula

\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} = \frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

Sustituyendo los valores m y n y cambiando la variable u por t, resulta

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{2(4+1)} \sin{(4+1)t} + \frac{1}{2(4-1)} \sin{(4-1)t} + C

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{2(5)} \sin{(5)t} + \frac{1}{2(3)} \sin{(3)t} + C

\displaystyle \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{10} \sin{10t} + \frac{1}{6} \sin{3t} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\cos{4t} \cos{t} \, dt} = \frac{1}{10} \sin{10t} + \frac{1}{6} \sin{3t} + C